Question

如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米3000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

Answer 1

分析：（1）根据“轴对称的性质”和“两点之间线段最短”来找点P的位置．作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置；
（2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解．

解答：解：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即PA与PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；

（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，设这两线交于点C，则∠C=90°．
过A作AE⊥BC于E；
在直角△ABE中，依题意得：BE=5，AB=13，
根据勾股定理可得：AE=

AB2-BE2

=12．
∴由平移关系可得：A′C=AE=12，在Rt△B A′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
根据勾股定理可得：A′B=

A′C2+BC2

=

122+92

=15，
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴最节省的铺设水管费用为：3000×15=45000（元）．

点评：考查最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点．