Question

13．矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=4，矩形ABCD的面积为16$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AO=BO=$\frac{1}{2}$BD，再证明△AOB为等边三角形，得出BO=AB，求出BD，由勾股定理求出AD，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$BD，∠BAD=90°，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO=AB=4，
∴BD=2BO=8，
∴AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$；
故答案为：16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．