Question

如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S_△CDG=S_?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）

A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

Answer 1

【答案】分析：根据已知可证明△CHG≌△EGD，则∠EDG=∠CGB=∠CBF，∠GDH=∠GHD（等角的余角相等），S_△CDG=S_?DHGE；故正确的是②③．
解答：解：∵DF=BD，
∴∠DFB=∠DBF，
∵AD∥BC，DE=BC，
∴∠DEC=∠DBC=45°，
∴∠DEC=2∠EFB，
∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，
∴CG=BC=DE，
∵DE=DC，
∴∠DEG=∠DCE，
∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，
∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF），
=180°-（∠BGD+∠BGC），
=180°-（180°-∠DCG）÷2，
=180°-（180°-45°）÷2，
=112.5°，
∴∠GHC=∠DGE，
∴△CHG≌△EGD，
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，
∴∠GDH=∠GHD，
∴S_△CDG=S_?DHGE．
故选D．
点评：此题主要考查了等腰三角形、正方形对角线相互垂直平分相等和直角三角形的性质．