Question

13．已知抛物线y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P为x轴下方抛物线上一点，CP交x轴于点Q．若S_△ACQ=S_△PBQ，则点P的坐标为（3，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 分别令x=0、y=0求出与之对应的y、x的值，即求出点A、B、C的坐标，设出点P坐标，根据点C、P坐标利用待定系数法求出直线CP的解析式，再令y=0求出点Q的坐标，根据三角形的面积公式结合S_△ACQ=S_△PBQ，即可得出关于m的方程，解方程即可得出结论．

解答 解：当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
当y=0时，有$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=0，
即x²-5x+4=（x-1）（x-4）=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）．
设点P的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）（1＜m＜4），直线CP的解析式为y=kx+3，
将点P（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）代入y=kx+3中，
得：$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3=km+3，解得：k=$\frac{3}{4}$m-$\frac{15}{4}$，
∴直线CP的解析式为y=（$\frac{3}{4}$m-$\frac{15}{4}$）x+3．
当y=0时，有（$\frac{3}{4}$m-$\frac{15}{4}$）x+3=0，
解得：x=$\frac{4}{5-m}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{4}{5-m}$，0），
∴AQ=$\frac{4}{5-m}$-1=$\frac{m-1}{5-m}$，BQ=4-$\frac{4}{5-m}$=$\frac{16-4m}{5-m}$．
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$•AQ•y_C=$\frac{3•（m-1）}{2•（5-m）}$，S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•BQ•|y_P|=$\frac{3•（4-m）^{2}•（m-1）}{2•（5-m）}$，
∵S_△ACQ=S_△PBQ，
∴$\frac{3•（m-1）}{2•（5-m）}$=$\frac{3•（4-m）^{2}•（m-1）}{2•（5-m）}$，即（4-m）²=1，
解得：m=3或m=5（舍去），
经检验x=3是分式方程$\frac{3•（m-1）}{2•（5-m）}$=$\frac{3•（4-m）^{2}•（m-1）}{2•（5-m）}$的解，
∴点P的坐标为（3，-$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（3，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴交点、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据S_△ACQ=S_△PBQ找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于三角形面积相等找出方程是关键．