Question

【题目】请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1）、（x2，y2）间的距离公式解答下列问题：

已知：反比例函数与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F1（﹣2，﹣2）、F2（2，2）在直线y＝x上．设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d＝|PF1﹣PF2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解由y＝和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为（，）、（，），利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度，由P为反比例函数y=上一点可得出x0与y0的关系式，利用两点间的距离公式可得出PF1、PF2的长，代入d=|PF1-PF2|即可得到x0的表达式，再根据x0的取值范围即可求出d的长，进而得出结论．

解：解由和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（，）、（-，-），线段AB的长度＝4

∵点P（x0，y0）是反比例函数图象上一点，

∴y0＝

∴PF1＝＝＝||，

PF2＝＝＝||，

∴d＝|PF1﹣PF2|＝，

当x0＜0时，d＝4；x0＞0时，d＝4．

∴无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．

∴到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．