Question

10．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．
（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE=8，cosA=$\frac{4}{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得出∠ABC=90°，进而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可证明；
（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出．

解答 （1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC；

（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点，AE=8，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=4，
又cosA=$\frac{4}{5}$，
∴OA=5，
∴AB=10．

点评 此题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知识，利用OD⊥AE，O为圆心，得出D为AE中点，再利用解直角三角形知识是解决问题的关键．