Question

【题目】如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．

（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；

（2）求△AOD的面积；

（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣1＜x＜0或x＞1；（2）3；（3）存在，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．

【解析】

（1）根据题意得到点A，点B关于原点对称，求得点B的横坐标为1，于是得到当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；

（2）连接OC，OE，求得OA＝OB，得到∠OAC＝∠OCA，根据角平分线的定义得到∠OAC＝∠DAC，推出AD//OC，得到 ，即可得到答案；

（3）作EF⊥x轴于F，AH⊥x轴于H，则EF//AH，求得DF＝FH，根据三角形中位线定理得到EF＝ AH，求得y＝﹣，得到A（﹣1，2），于是得到P（﹣2，﹣2），根据直角三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵直线 ＝mx（m≠0）与反比例函数 （k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，

∴点A，点B关于原点对称，

∴点B的横坐标为1，

∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；

（2）连接OC，OE，

由图象知，点A，点B关于原点对称，

∴OA＝OB，

∵AC⊥CB，

∴∠ACB＝90°，

∴OC＝ AB＝AO，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC为∠BAD的平分线，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴AD//OC，

∴，

∵AD＝2DE，

∴AE＝DE，

∴；

（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，如上图，

则EF//AH，

∵AD＝2DE，

∴DE＝EA，

∵EF//AH，

∴，

∴DF＝FH，

∴EF是△DHA的中位线，

∴EF＝ AH，

∵

∴OFEF＝OHHA，

∴OH＝ OF，

∴OH＝HF，

∴DF＝FH＝HO＝ DO，

∴，

∴，

∴k＝﹣2，

∴y＝，

∵点A在y＝的图象上，

∴把x＝﹣1代入得，y＝2，

∴A（﹣1，2），

∵点A在直线y＝mx上，

∴m＝﹣2，

∴P（﹣2，﹣2），

在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，

当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，

则OM＝2，

∴点M的坐标为（0．﹣2）；

当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，

∴OM＝2PG＝4，

∴点M的坐标为（0．﹣4）；

综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．