Question

如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）四边形AMCN可能是矩形吗？为什么？
（3）猜想四边形CDMN是什么特殊的四边形？证明你的猜想；
（4）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AD的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据叫平行四边的性质就可以得出AB=CD，∠B=∠ADC，再由M，N分别是AD，BC的中点就可以得出BN=DM，从SAS证明△ABN≌△CDM；
（2）假若四边形AMCN是矩形，就有∠ANC=90°，就有∠AND=∠ANC=90°就有点D，点C重合而矛盾，就可以得出四边形AMCN不可能是矩形；
（3）先由MD=NC，MD∥NC就可以得出四边形MNCD是平行四边形，由直角三角形的性质就可以得出MD=MN，进而得出结论；
（4）根据菱形的性质就可以得出∠2=∠3=∠4=30°，就可以求出NE的值，进而可以求出NC的值而求出BC的值得出结论．

解答：解：（1）∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠B=∠CDA，AD=BC
∵M、N是中点
∴DM=BN，
在△ABN和△CDM中，

AB=CD ∠B=∠CDA BN=DM

，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）不可能，因为∠AND=90°，所以∠ANC＞90°；
所以AMCN不可能是矩形；
（3）猜想：四边形CDMN是菱形．
理由：∵△ABN≌△CDM
∴BN=MD
∵BN=NC，AD∥BC
∴MD∥NC，MD=NC
∴CDMN是平行四边形
∵NM是Rt△AND斜边上的中线，
∴NM=MD
∵NM=MD，且CDMN是平行四边形
∴CDMN是菱形．
（4）∵CDMN是菱形，
∴MD∥NC，∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴∠1=∠3=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3=∠4．
∵CE⊥MN，
∴∠CEN=90°
∴∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2=∠3=∠4=30°
∴∠MNC=60°．
∵NM=NC
∴△MNC是等边三角形．
∵CE⊥MN
∴E为MN的中点
∴NE=

1

2

MN=

1

2

MD=

1

4

AD
在Rt△PEN中，∠3=30°，PE=1，
∴NE=

3

∴AD=4

3

．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时灵活运用平行四边形和菱形的性质是关键．