Question

用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD．现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角板绕点A逆时针方向旋转．
（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a），
①猜想BE与CF的数量关系是______；
②证明你猜想的结论．
（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b），连接EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）①BE=CF；
②∵菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，
∴AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，
而∠FAE=60°，
∴∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
∵
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（2）△AEF为等边三角形．
理由如下：连EF，
∵菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，
∴∠ACE=120°，∠ADF=120°，
∴∠ACE=∠ADF，
而∠FAE=60°，
∴∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中
∵
∴△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF为等边三角形．
分析：（1）①BE=CF；②由于菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，而∠FAE=60°，得到∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，根据全等三角形的判定方法易得△BAE≌△CAF，即可得到BE=CF；
（2）由于菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，根据等边三角形的性质得到AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，则∠ACE=120°，∠ADF=120°，得到∠ACE=∠ADF，
而∠FAE=60°，得到∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，根据全等三角形的判定方法易得△ACE≌△ADF，则AE=AF，根据等边三角形的判定方法即可得到△AEF为等边三角形．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．