Question

如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．
（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．
（2）延长ED交AC于F，求出DM=

1

2

FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．
（3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，
∵点M为BC的中点，
∴BM=

1

2

EC，DM=

1

2

EC，
∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，
∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，
∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，
同理∠DME=2∠ACM，
∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°
∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）解：如图2，△BDM是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=45°，
∵AD⊥ED，
∴ED=DF，
∵M为EC中点，
∴EM=MC，
∴DM=

1

2

FC，DM∥FC，
∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，
∵ED⊥AB，BC⊥AB，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=NCM，
在△EDM和△CNM中

∠DEM=∠NCM EM=CM ∠EMD=∠CMN

∴△EDM≌△CNM（ASA），
∴DM=MN，
∴BM⊥DN，
∴△BMD是等腰直角三角形．

（3）△BDM是等腰直角三角形，
理由是：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．