Question

如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．
（1）求证：BC=DE；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等式的性质，可得∠BAC与∠DAE的关系，根据SAS，可得△ABD和△ACE的关系，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BFD与△FDG的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．

解答：（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠GAC=∠CAE+∠GAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，

BA=DA ∠BAC=∠DAE AC=AE

，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE；
（2）解：线段FD是线段FG和FB的比例中项，理由如下：
△BAC≌△DAE，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDG，
∵∠BFD=∠DFG，
∴△BFD∽△DFG．
∴BF：DF=DF：FG．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2）利用了相似三角形的判定与性质，题目比较简单．