Question

二次函数y1=x2+x+n-

3

4

的图象与x轴只有一个交点；另一个二次函数y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的图象与x轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m是小于5的整数．
求：（1）n的值；
（2）二次函数y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的图象与x轴交点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用抛物线图象与x轴交点个数与△符号的关系得出b²-4ac=0求出即可；
（2）根据（1）中所求以及b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，得出m的取值范围，进而利用图象与x轴交点的横坐标都是整数得出m的值，进而得出答案．

解答：解：（1）∵二次函数y1=x2+x+n-

3

4

的图象与x轴只有一个交点，
∴b²-4ac=1-4（n-

3

4

）=0，
解得：n=1；

（2）将n=1代入二次函数解析式y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6得：
y₂=x²-2（m-1）x+m²-4m+6，
∵二次函数y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的图象与x轴交于两点，
∴b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，
解得：m＞

5

2

，
∵m是小于5的整数，
∴

5

2

＜m＜5，
∴m=3或4，
∵二次函数y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的图象与x轴交点的横坐标都是整数，
∴当m=3时，
y₂=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
与x轴交点坐标为；（1，0），（3，0），
当m=4时，
y₂=x²-6x+6=（x-3）²-3，
与x轴交点坐标为；（3+

3

，0），（3-

3

，0）不合题意舍去，
故二次函数y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的图象与x轴交点的坐标为：（1，0），（3，0）．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点问题与判别式△的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题关键．