Question

20．已知y=-x²+2x，试根据以下条件求y的最大值
（1）x取任意实数
（2）-1≤x≤0
（3）2≤x≤3
（4）0≤x≤4
（5）a≤x≤a+1．

Answer 1

分析 （1）根据图象可知，x=1时，y取得最大值．
（2）根据图象可知，x=0时，y取得最大值．
（3）根据图象可知，x=2时，y取得最大值．
（4）根据图象可知，x=1时，y取得最大值．
（5）分三种情形讨论①当a+1＜1即a＜0时，由图象可知，x=a+1时，y取得最大值．②a＞1时，由图象可知，x=a时，y取得最大值，③0≤a≤1时，x=1时，y取得最大值．

解答 解：抛物线y=-x²+2x=-（x-1）²+1的图象如图所示，

（1）x取任意实数时，y的最大值为1．
（2）当-1≤x≤0时，由图象可知，x=O时，y取得最大值=0．
（3）当2≤x≤3时，由图象可知，x=2时，y取得最大值=0．
（4）当0≤x≤4时，由图象可知，x=1时，y取得最大值=1．
（5）当a≤x≤a+1时，①a+1＜1即a＜0时，由图象可知，x=a+1时，y取得最大值=-（a+1）²+2（a+1）=-a²+1．
②a＞1时，由图象可知，x=a时，y取得最大值=-a²+2a
③0≤a≤1时，由图象可知，x=1时，y取得最大值为1．

点评 本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是画出图象，根据图象确定自变量取何值时函数值取得最大值，属于中考常考题型．