Question

已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当时，sinB=；
当时，sinB=（提示：=）；
当时，sinB=．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，sinB的值等于______；
（2）当时（n是大于1的自然数），请用含n的代数式表示sinB=______，并画出图形，写出已知、求证和证明过程．

Answer 1

解：（1）

（2）
图形、已知、求证和证明过程如下：
已知：在△ABC中，AB=AC，EF∥BC，⊙O内切于梯形EBCF，点D、N、G、M为切点，（n是大于1的自然数）
求证：sinB=．
证法一：
连接AO并延长与BC相交
∵⊙O内切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切线，
∴∠BAO=∠CAO．
∵EF∥BC，AB=AC，
∴AE=AF．
又M、N为切点，
∴OM⊥EF，ON⊥BC，
∴AO⊥EF于M，AO⊥BC于N．
∵EF∥BC，∴EM∥BN．
∴△AEM∽△ABN．
∴．
设EM=k，则BN=nk．
作EH∥MN交BC于H，则HN=EM=k．
∵D、N、M为切点，
∴BD=BN=nk，ED=EM=k．
在△EHB中，∠EHB=∠MNB=90°，
BE=BD+DE=（n+1）k，
BH=BN-HN=（n-1）k，
由勾股定理得EH=2•k
∴sinB=．
证法二：
接证法一中，∵EF∥BC，∴EM∥BN
∴．
设AM=k，则AN=nk，MN=（n-1）k．
连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AB
∴OM=OD=MN=，OA=AM+MO=
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=•k
∵∠B+∠BAN=∠AOD+∠BAN=90°，
∴∠B=∠AOD
∴sinB=sin∠AOD=．
分析：（1）的分母加1即是sinB的分母，sinB的分子是2乘以的分母的算术平方根，根据规律直接写出答案即可；
（2）由已知条件先写出已知和求证，再进行证明：
要想表示出sinB，需证明△AEM∽△ABN，得出，再设EM=k，则BN=nk，作EH∥MN交BC于H，则HN=EM=k．
由勾股定理得EH=2•k，则sinB=．
点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．