Question

2．如图是单位长度为1的正方形网格，点A、B、C都在格点上；
（1）画出将图中的△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB′C′；（其中B、C的对应点分别是B′、C′） 
（2）求（1）中点B在运动过程中所经过的弧长；
（3）求（1）中边AC在运动过程中所扫过的区域的面积．

Answer 1

分析 （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点分别是B′、C′，即可得到△AB′C′；
（2）先根据勾股定理计算AB，然后利用弧长公式计算；
（3）先利用勾股定理计算AC，然后利用扇形的面积公式计算．

解答 解：（1）如图，△AB′C′为所作；

（2）AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
点B在运动过程中所经过的弧长=$\frac{90•π•\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π；
（3）AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
边AC在运动过程中所扫过的区域的面积=$\frac{90•π•（\sqrt{10}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{2}$π．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．