如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠A=90°.AB=12.BC=21.AD=16．动点P从点B出发.沿射线BC的方向以每秒3个单位长的速度运动.动点Q从点D出发.在线段DA上以每秒1个单位长的速度向点A运动.点P.Q分别从点B.D同时出发.当点Q运动到点A时.点P随之停止运动.设运动的时间为t秒．(1)当t=6时.求P.Q两点之间的距离．(2)若以B为原� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点D出发，在线段DA上以每秒1个单位长的速度向点A运动，点P、Q分别从点B、D同时出发，当点Q运动到点A时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t=6时，求P、Q两点之间的距离．
（2）若以B为原点，CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．当t为何值时，D、Q、P、C四点在同一抛物线上？
（3）当t为何值时，四边形ABPQ为圆外切四边形．

分析（1）过点Q作QM⊥BC，分别求出AQ和BP的长，在Rt△QPM中，根据勾股定理得出QP的长即可；
（2）D、Q两点的纵坐标相同，P、C两点的纵坐标相同，四点在同一抛物线上说明它们的对称轴是一样的，写出四点的坐标，再分别求出它们的对称轴即可得解；
（3）先求出AQ、BP的长，根据圆外切四边形的对边和相等以及勾股定理进行解答，据此即可得解．

解答解：（1）如图1，过点Q作QM⊥BC，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴四边形ABMQ是矩形，
∴QM=AB=12，
当t=6时，DQ=6，AQ=16-6=10，BP=3×6=18，
∴BM=AQ=10，
∴PM=18-10=8，
在Rt△PQM中，∠PMQ=90°，PM=8，QM=12，
QP=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=$\sqrt{208}$=4$\sqrt{13}$；
（2）如图2所示，
DQ=t，AQ=16-t，BP=3t，BC=21，AD=16，
∴D（-16，12），Q（t-16，12），C（-21，0），P（-3t，0），
D、Q两点的对称轴为：$\frac{-16+t-16}{2}$，
C、P两点的对称轴为：$\frac{-21-3t}{2}$，
∵D、Q、P、C四点在同一抛物线上，
∴$\frac{-16+t-16}{2}=\frac{-21-3t}{2}$，
解得：t=$\frac{11}{4}$；
当t=$\frac{11}{4}$时，D、Q、P、C四点在同一抛物线上；
（3）如图3，
过点Q作QN⊥BC，垂足为N，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴四边形ABNQ是矩形，
∴QN=AB=12，BN=AQ=16-t，BP=3t，
∵四边形ABPQ为圆外切四边形，
∴AQ+BP=PQ+AB，
∴PQ=16-t+3t-12=2t+4，PN=3t-（16-t）=4t-16，
在Rt△PNQ中，PQ²=PN²+QN²，
即：（2t+4）²=（4t-16）²+12²，
解得：t=4或t=8（舍）．
∴当t=4时，四边形ABPQ为圆外切四边形．

点评本题是四边形综合题目，主要考查了动点问题、勾股定理、圆的外切四边形的对边和相等等知识点；认真分析题意，在第三问中认识到点P在7秒后停止是解题的关键，要注意认真总结．

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