Question

如图，巳知A为∠POQ的边OQ上一点，OA=2，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=60°．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，若按逆时针方向旋转θ°（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上向右平移的距离分别为a、b，请问θ等于几度时b=2a？

Answer 1

分析：△OAB为等边三角形，则OA=OB=AB=2，则OM=a，BN=b，假定b=2a，则BM=2-a，ON=2+2a，易证△AMB∽△NAO，利用相似比可求出a=1，则在△BAN中，BA=BN=2，得到∠BNA=θ，利用三角形的外角性质即可得到θ的度数．

解答：解：如图，△OAB为等边三角形，则OA=OB=AB=2，
根据题意得，OM=a，BN=b，
若b=2a，则BM=2-a，ON=2+2a，
∵∠AOB=∠AOB=60°，
∠AMB=∠OAN=60°+θ，
∴△AMB∽△NAO，
∴

AB

ON

=

BM

OA

，即

2

2+2a

=

2-a

2

，
解得a=1，
∴BN=2，
在△BAN中，BA=BN=2，
∴∠BNA=θ，
∴∠AOB=2θ=60°，
∴θ=30°，
即θ等于30度时b=2a．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形相似的判定与性质以及三角形的外角性质．