Question

8．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点的坐标为（2，-9），与y轴交于点A（0，-5）．
（1）求该函数的表达式；
（2）过点A作AB∥x轴，交二次函数的图象于点B，C为二次函数的图象上一点，设点C的横坐标为m，且0＜m≤5，过点C作CD∥y轴，交直线AB于点D，连接AC，BC，试判断当点C在何位置时，△ACB的面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标（2，-9），设出抛物线顶点形式，将（0，-5）代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①先根据当y=-5时，-5=x²-4x-5，求得B（4，-5），再分两种情况讨论：当0＜m＜4时，点C在AB的下方的抛物线上；当4≤m≤5时，点C在抛物线上，分别求得s关于m的函数解析式；②分两种情况，求得当点C与抛物线与x轴交点重合时，△ABC的面积最大，最大面积为10．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵顶点坐标（2，-9）
∴y=a（x-2）²-9，
将点A（0，-5）代入，得
-5=4a-9，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²-9=x²-4x-5；

（2）①当y=-5时，-5=x²-4x-5，
解得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，-5），
∵点M的横坐标为m，且0＜m≤5，
∴当0＜m＜4时，点C在AB的下方的抛物线上，
设C（m，m²-4m-5），则
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AB×CD，即s=$\frac{1}{2}$×4×[-5-（m²-4m-5）]=2（-m²+4m）=-2m²+8m（0＜m＜4）；
当4≤m≤5时，点C在抛物线上，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AB×CD，即s=$\frac{1}{2}$×4×[m²-4m-5-（-5）]=2（m²-4m）=2m²-8m（4≤m≤5）；
综上所述，s关于m的函数解析式为s=$\left\{\begin{array}{l}{-2{m}^{2}+8m\\;（0＜m＜4）}\\{2{m}^{2}-8m\\;（4≤m≤5）}\end{array}\right.$；
②当点C与抛物线顶点重合时，m=2，
此时，s=-2×2²+8×2=8，
当点M与抛物线与x轴交点重合时，m=5，
此时，s=2×5²-8×5=10，
∴当点M与抛物线与x轴交点重合时，△ABC的面积最大，最大面积为10．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．解决问题的关键是掌握运用二次函数的顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；解题时注意分类思想的运用．