Question

已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，
延长BC到E，使CE=CD，
（1）（4分）不添加任何辅助线的情况下，请你至少写出两个与CD有关且形式不同的结论；
（2）（6分）问：BD=DE成立吗？若成立，请你写出相应的理由．

Answer 1

分析：（1）由BD是AC边上的中线，可得CD=

1

2

AC，又△ABC是等边三角形，CE=CD，所以CD=CE=

1

2

BC，从而得出CD=

1

3

BE；
（2）欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．

解答：解：（1）∵由BD是AC边上的中线，
∴CD=

1

2

AC；
又△ABC是等边三角形，CE=CD，
∴CD=CE=

1

2

BC，
∴BC=2CD，
∴2CD+CD=BE，
CD=

1

3

BE；
即与CD有关且形式不同的结论为：CD=

1

2

AC，CD=

1

3

BE；

（2）BD=DE成立，
∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=12∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．

点评：本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．