Question

如图，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6cm；D为AC上一点（不与A、C不重合），过D作DQ⊥AC（DQ与AB在AC的同侧）；点P从D点出发，在射线DQ上运动，连接PA、PC．
（1）当PA=PC时，求出AD的长；
（2）当△PAC构成等腰直角三角形时，求出AD、DP的长；
（3）当△PAC构成等边三角形时，求出AD、DP的长；
（4）在运动变化过程中，△CAP与△ABC能否相似？若△CAP与△ABC相似，求出此时AD与DP的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知：当PA=PC时，△PAC为等腰三角形，则D点为AC的中点，则AD=AC，故可求得AD的长度；
（2）当△PAC构成等腰直角三角形时，∠PCD=∠DPC=45°，则PD=AD，由（1）可知AD的长度，则可得出PD的长度；
（3）当△PAC构成等边三角形时，∠PAD=60°，在直角△PAD中，根据勾股定理可以求得PD的长；
（4）要想使两三角形相似，△APC必须满足的条件是∠APC=90°，因此本题要分两种情况进行讨论：
①当∠PCA=∠BAC=30时°，可在直角三角形PAC中根据AC的长和∠PCA的度数，求出AP的长，然后在直角△ADP中，根据AP的长和∠PAC的度数即可求出AD、DP的长；
②当∠PAC=∠BAC=30°时，此时P在直角△ABC的斜边AB上，且CP⊥AB．然后可按照①的方法求出AD、DP的长．
解答：解：（1）AD=AC=BCtan60°=3；


（2）同（1）AD=3
∵∠PCD=∠DPC=45°，
∴PD=AD，
∴PD=3；


（3）AD=3DP=9；


（4）①AD=×3=，DP=；
②AD=，DP=．

点评：本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定以及相似三角形的判定等知识点．本题较复杂，要注意（4）中要根据对应角的不同，分类讨论，不要漏解．