如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),⊙M是△ABC的外接圆,M为圆心。
⑴求抛物线的解析式;
⑵求阴影部分的面积;
⑶在正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=K,△CPQ的面积为S,求S关于K的函数关系式,并求出S的最大值。
(1)y==x2-3x-4;(2);(3)S=-
k2+2k,2.
解析试题分析:(1)已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数,先求圆心角∠AMC的度数,由于OB=OC,因此∠ABC=45°,根据圆周角定理可得出∠AMC=90°.再求半径,由于三角形AMC是等腰直角三角形,因此半径的平方等于AC的平方的一半,可在直角三角形OAC中求出AC的平方,据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积.
(3)求三角形CPQ的面积可以PQ为底,以OP为高,已知了PQ=k,在等腰直角三角形BPQ中,BP=PQ=k,也就能表示长OP的长,据此可求出S与k的函数关系,根据函数的性质即可求出S的最大值.
试题解析:(1)由抛物线经过A(-1,0),B(4,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4),
将C(0,-4)代入上式中,得-4a=-4,a=1.
∴y=(x+1)(x-4)=x2-3x-4.
(2)∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-4).
∴OB=OC=4,OA=1
∴∠OBC=45°,∴∠AMC=90°
∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17
∴AM2=CM2=,
∴S阴影=.
(3)∠OBC=45°,PQ⊥x轴;
∴BP=PQ=k,
∴S=k•(4-k)=-
k2+2k.
∴当k=2时,S最大值=2.
考点: 二次函数综合题.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的坐标为
,与y轴交于点
,顶点为D。
(1)求抛物线的解析式及顶点D坐标;
(2)联结AC、BC,求∠ACB的正切值;
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如图,已知抛物线与
轴相交于A、B两点,与
轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).
(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;
(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;
(3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥轴,求MN的最大值;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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小赵投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,当月内销售单价不变,则月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:.
(1)设小赵每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?并求出最大利润.
(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元,那么如何制定销售单价才可以实现这一目标?
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如图,抛物线(b,c是常数,且c<0)与
轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与
轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).
(1)请直接写出点OA的长度;
(2)若常数b,c满足关系式:.求抛物线的解析式.
(3)在(2)的条件下,点P是轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC.设△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个(直接写出结果)?
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在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象过A(-1,-2)、B(1,0)两点.
(1)求此二次函数的解析式并画出二次函数图象;
(2)点P(t,0)是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线交直线AB于点M,交二次函数的图象于点N.当点M位于点N的上方时,直接写出t的取值范围.
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如图,已知抛物线与坐标轴交于
三点,点
的横坐标为
,过点
的直线
与
轴交于点
,点
是线段
上的一个动点,
于点
.若
,且
.
(1)求的值
(2)求出点的坐标(其中
用含
的式子表示):
(3)依点的变化,是否存在
的值,使
为等腰三角形?
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某超市准备进一批每个进价为40元的小家电,经市场调查预测,售价定为50元时可售出400个;定价每增加1元,销售量将减少10个.
(1)设每个定价增加元,此时的销售量是多少?(用含
的代数式表示)
(2)超市若准备获得利润6000元,并且使进货量较少,则每个应定价为多少元?
(3)超市若要获得最大利润,则每个应定价多少元?获得的最大利润是多少?
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高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元作为固定投资,已知生产每件产品的成本是40元.在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利(年获利=年销售额一生产成本—投资)为z(万元).
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(3)公司计划,在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售;到第二年年底获利不低于1130万元,请借助函数的大致图象说明:第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?
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