Question

一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在10～30dm之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm²）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

画板的边长（dm）	10	20
出售价（元/张）	160	220

（1）求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为130元（利润＝出售价－成本价），
①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

(1)y＝6x＋100；（2）W＝－x²＋6x＋100，154.

试题分析：（1）每张画板的成本价与它的面积成正比例，可设其解析式为y成本价=ax²，每张画板的出售价由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．可设y出售价=kx+b.把表中数据代入即可求出结论；
（2）由y利润=y出售价-y成本价，可得出二次函数，求出其最大值即可.
试题解析：（1）设正方形画板的边长为xdm，出售价为每张y元，且y＝kx＋b（k≠0） （1分）
由表格中的数据可得，，解得
从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式y＝6x＋100
（2）设每张画板的成本价为ax²，利润W＝6x＋100－ax²
当x＝30时，W＝130，180＋100－900a＝130，得a＝
一张画板的利润W与边长x之间满足函数关系式W＝－x²＋6x＋100
由W＝－16(x－18)2＋154，知当x＝18时，W有最大值，W最大＝154
因此当正方形画板的边长为18dm时，可获最大利润154元.
考点: 1.一次函数表达式；2.二次函数表达式；3.二次函数的最大值.