Question

证明：无论a取何值，方程（x-a）（x-3a+1）=1必有两个不相等的实数根．

Answer 1

证明：方程变形为：x²-（4a-1）x+3a²-a-1=0，
∵△=（4a-1）²-4（3a²-a-1）
=4a²-4a+4
=（2a-1）²+3，
∵（2a-1）²≥0，
∴△＞0，
所以无论a取何值，方程（x-a）（x-3a+1）=1必有两个不相等的实数根．
分析：先把方程变形为一元二次方程的一般形式：x²-（4a-1）x+3a²-a-1=0，然后计算△，再变形为△=（2a-1）²+3，由于（2a-1）²，≥0，得到△＞0，然后根据△的意义即可得到结论．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了配方法的运用．