Question

【题目】已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点E是BC边上一个动点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E。

（1）如图(1)，点G和点H分别是AD和AB′的中点，若点B′在边DC上。

①求GH的长；

②求证：△AGH≌△B′CE；

（2）如图(2)，若点F是AE的中点，连接B′F，B′F∥AD，交DC于I。

①求证：四边形BEB′F是菱形；

②求B′F的长。

Answer 1

【答案】（1）①3；②详见解析；（2）①详见解析；②

【解析】

（1）①由折叠的性质可得出AB=AB′，根据矩形的性质可得出∠ADB′=90°，在Rt△ADB′中，利用勾股定理即可得出B′D的长度，再根据中位线的性质即可得出结论；
②由点G为AD的中点可求出AG的长度，通过边与边的关系可得出B′C=4，由此得出B′C=AG，再通过角的计算得出∠AHG=B′EC，由此即可根据全等三角形的判定定理AAS证出△AGH≌△B′CE；
（2）①连接BF，由平行线的性质结合直角三角的中线的性质即可得知△B′EF为等边三角形，根据折叠的性质即可证出四边形BEB′F是菱形；
②由等边三角形和平行线的性质可得出∠BEF=∠B′EF=60°，再由AB=10利用特殊角的三角函数值即可得出结论．

（1）①∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E

∴AB=AB′

∵四边形ABCD为矩形

∴∠ADB′=90°

在Rt△ADB′中，AD=8，AB′=10

∴B′D==6

∵点G和点H分别是AD和AB′的中点，∴GH为△ADB′的中位线

∴GH=DB′=3

②证明：∵GH为△ADB′的中位线

∵GH∥DC，AG=AD=4

∴∠AHG=∠AB′D

∵∠AB′E=∠ABE=90°

∴∠AB′D+∠CB′E=90°

又∵∠CB′E+∠B′EC=90°

∴∠AHG=B′EC

∵CD=AB=10，DB′=6

∴B′C=4=AG

在△AGH和△B′CE中

∴△AGH≌△B′CE（AAS）．

（2）①证明：

∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E

∴BF=B′F，∠B′EF=∠BEF，BE=B′E

∵B′F∥AD，AD∥BC

∴B′F∥BC

∴∠B′FE=∠BEF=∠B′EF

∵∠AB′E=∠ABE=90°，点F为线段AE的中点

∴B′F=AE=FE

∴△B′EF为等边三角形

∴B′F=B′E

∵BF=B′F，BE=B′E

∴B′F=BF=BE=B′E

∴四边形BEB′F是菱形

②∵△B′EF为等边三角形

∴∠BEF=∠B′EF=60°

∴BE=ABcot∠BEF=10×=

∵四边形BEB′F是菱形

∴B′F=BE=．