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△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1,A2,同样得到B1,B2,C1,C2.求证:A1A2=B1B2=C1C2
分析:作辅助线连接A1B,A1C,过A1做A1F⊥AC于F,A1E⊥AB于E,得到∠ABA1+∠ACA1=180°,进一步推出A、B、A1、C四点共圆,A、A2、B、C四点共圆,即A1、A2都在△ABC的外接圆上,推出∴A1A2是△ABC的外接圆的直径,B1B2、C1C2也是ABC的外接圆的直径,即可得出答案.
解答:精英家教网证明:连接A1B,A1C,过A1做A1F⊥AC于F,A1E⊥AB于E,
∵连接A1B、A1C,
∵AA1平分∠BAC,
∴A1E=A1F,
∵A1在BC的中垂线上,
∴A1B=A1C,
∵∠BEA1=∠CFA1=90°,
∴Rt△A1EB~Rt△A1FC,
∴∠ABA1=∠A1CF,
∵∠A1CF+∠ACA1=180°,
∴∠ABA1+∠ACA1=180°,
∴A、B、A1、C四点共圆,
同理A、A2、B、C四点共圆,
从而知A1、A2都在△ABC的外接圆上,
∵AA1平分∠BAC,AA2平分∠MAB,
∴∠A2AA1=
1
2
×180°=90°,
∴A1A2是△ABC的外接圆的直径,
同理可证:B1B2、C1C2也是ABC的外接圆的直径,
∴A1A2=B1B2=C1C2
点评:本题主要考查了四点共圆,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,确定圆的条件,三角形的角平分线等知识点,通过作辅助线得到A1、A2都在△ABC的外接圆上是解此题的关键.
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  1. A.
    不等边三角形
  2. B.
    等边三角形
  3. C.
    等腰三角形
  4. D.
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