Question

如图，在直角坐标系中，⊙P的圆心P在x轴上，⊙P与x轴交于点E、F，与y轴交于点C、D，且EO=1，CD=2

3

，又B、A两点的坐标分别为（0，m）、（5，0）．
（1）当m=3时，求经过A、B两点的直线解析式；
（2）当B点在y轴上运动时，若直线AB与⊙P保持相交，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把（0，3）、（5，0）分别代入y=kx+b，得到方程组，求解即可得到经过A、B两点的直线解析式；
（2）假设当B点移到B'时，直线AB'与⊙P相切于点H，连接PH、PD，由EO=1，CD=2

3

，可求得半径长为2，从而得出PH=2，AP=4，所以∠EAH=30°；由正切值可求出OB'，要使直线AB'与⊙P相交，使m的值小于OB'的值即可；同理求出OB''的值，使m的值大于OB''即可．

解答：解：（1）当m=3时，B的坐标为（0，3）．
设经过A、B两点的直线解析式为y=kx+b，由题意得

b=3 5k+b=0

，
解得

k=- 3 5 b=3

，
∴经过A、B两点的直线解析式为y=-

3

5

x+3；

（2）假设当B点移到B'时，直线AB'与⊙P相切于点H，连接PH、PD，设圆的半径为x，
∵EO=1，CD=2

3

，
∴PD²=OD²+OP²，
即x²=（

3

）²+（x-1）²，解得x=2；
∵OA=5，
∴AP=OA-OP=5-1=4，
在Rt△APH中，PH=2，AP=4，
∴∠PAH=30°，
在Rt△AEB'中，OB'=tan30°×5=

5

3

3

；
同理OB''=-

5

3

3

，
∴若直线AB与⊙P保持相交，m的取值范围是-

5

3

3

＜m＜

5

3

3

．

点评：此类题目是函数与圆的知识的综合运用，难点在第（2）题，解决的根据是直线和圆相交?圆心到直线的距离小于圆的半径．