Question

2．已知如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，点E、F分别是AD、AB边的中点，连接DF、CE交于点G，连接AG、OG．若AD=2，则OG=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作AM⊥DF垂足为M，连接BM，作MH⊥AB于H．首先利用△ADF≌△DCE推出∠EGD=90°，由AM∥EG，AE=ED推出MG=GD，因为OB=OD，所以OG=$\frac{1}{2}$BM，只要求出HM，HB即可解决问题．

解答 解：作AM⊥DF垂足为M，连接BM，作MH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°，OB=OD，
∵AF=FB，AE=ED，
∴AF=FB=AE=ED，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠DAF=∠EDC}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠ADF=∠ECD，
∵∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠DEC+∠EDF=90°，
∴∠EGD=90°，
∵∠AMD=∠EGD=90°，
∴AM∥EG，
∵AE=ED，
∴MG=GD
∵BO=OD，
∴OG=$\frac{1}{2}$BM．
在RT△ADF中，∵∠DAF=90°，AD=2，AF=1，
∴DF=$\sqrt{5}$，AM=$\frac{AF•AD}{DF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在RT△AMF中，∵∠AMF=90°，AF=1，AM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴FM=$\sqrt{A{F}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，MH=$\frac{AM•MF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，
∴AH=$\sqrt{A{M}^{2}-M{H}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，HF=$\frac{1}{5}$，BH=$\frac{6}{5}$，
∴BM=$\sqrt{H{M}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，利用三角形中位线解决问题，所以中考常考题型．