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已知:如图,⊙O与⊙A相交于C,D两点,A,O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦CD交AB精英家教网于点G,交⊙O的直径AE于点F,连接BD.
(1)求证:△ACG∽△DBG;
(2)求证:AC2=AG•AB;
(3)若⊙A,⊙O的直径分别为6
5
,15,且CG:CD=1:4,求AB和BD的长.
分析:(1)由圆周角定理知,∠CAG=∠BDG,由对顶角的概念知,∠AGC=∠DGB,故△ACG∽△DBG;
(2)由连心线垂直于公共弦和垂径定理知,弧AC=弧AD,由圆周角定理知∠ACG=∠ABC,而∠CAG=∠BAC,故△ACG∽△ABC.有
AC
AB
=
AG
AC
,即AC2=AG•AB.
(3)连接CE,易得Rt△CFA∽Rt△ECA,则有
AC
AE
=
AF
AC
,求得AF的值,由勾股定理求得CF的值后,由已知CG:CD=1:4,求得CG,DG的值,再在Rt△AFG中,由勾股定理求得AG的值,由2中的AC2=AG•AB,由1中的△ACG∽△DBG得到
AC
DB
=
AG
DG
,代入对应的边的值,即可求得AB,BD的值.
解答:精英家教网(1)证明:在△ACG和△DBG中,
∵∠CAG=∠BDG,∠AGC=∠DGB,
∴△ACG∽△DBG.

(2)证明:连接AD,则AC=AD.
在△ACG和△ABC中,
∵AC=AD,
∴∠ACG=∠ABC.
又∵∠CAG=∠BAC,
∴△ACG∽△ABC.
AC
AB
=
AG
AC
,即AC2=AG•AB.

(3)解:连接CE,则∠ACE=90°.
∵⊙O与⊙A相交于C,D两点,
∴圆心O,A在弦CD的垂直平分线上,即AO垂直平分弦CD.
∴CF=DF,CF⊥AE且
AC
=
AD

∵⊙A,⊙O的直径分别为6
5
,15,
∴AC=3
5
,AE=15.
在Rt△CFA和Rt△ECA中,
∵∠ACF=∠ADC=∠AEC,
∴Rt△CFA∽Rt△ECA.
AC
AE
=
AF
AC
,即AF=
AC2
AE
=
(3
5
)
2
15
=3

在Rt△AFC中,由勾股定理,得AC2=AF2+CF2
即(3
5
2=32+CF2.解得CF=6(舍去负值).
∵CG:CD=1:4,且CD=2CF=12,
∴CG:DG=1:3,
∴CG=FG=12×
1
4
=3,DG=12×
3
4
=9.
在Rt△AFG中,由勾股定理,得AG2=AF2+FG2=32+32=18,
∴AG=3
2
(舍去负值).
由(2),有AC2=AG•AB,即(3
5
)2=3
2
•AB

解得AB=
15
2
2

由(1),有△ACG∽△DBG,得
AC
DB
=
AG
DG

∴BD=
AC•DG
AG
=
3
5
×9
3
2
=
9
10
2
点评:本题是圆内的一道综合题,利用了连心线与公共弦的关系,圆周角定理,垂径定理,直径对的圆周角是直角,中垂线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质求解.
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