Question

16．在△ABC中，∠C=90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD=25°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为$\widehat{AD}$的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由在△ABC中，∠C=90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD=∠BAD，继而求得答案；
（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为$\widehat{AD}$的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．

解答 解：（1）连接OD，
∵OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ADO=25°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，
∴∠B=90°-∠BOD=40°；
（2）连接OF，OD，

由（1）得：OD∥AC，
∴∠AFO=∠FOD，
∵OA=OF，点F为$\widehat{AD}$的中点，
∴∠A=∠AFO，∠AOF=∠FOD，
∴∠A=∠AFO=∠AOF=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∵OA=OD=2，
∴OB=2OD=4，
∴AB=OA+OB=6．

点评 此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．