Question

10．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°，过C作⊙O的切线l，与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F．
（1）求证：AC平分∠FAD；
（2）已知AF=3$\sqrt{3}$，求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，求出OC∥AF，根据平行线得出∠FAC=∠ACO，根据等腰得出∠CAO=∠ACO，求出∠AC=∠CAO即可；
（2）求出∠CDA=60°，QIUC∠FAC=∠CAO=∠E=30°，解直角三角形求出OC，分别求出△OCE和扇形COD的面积即可．

解答 （1）证明：
连接OC，
∵EF切⊙O于点C，
∴OC⊥EF，
∵AF⊥EF，
∴OC∥AF，
∴∠FAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FAC=∠CAO，
∴AC平分∠FAD；

（2）解：连接CD，
∵ADS是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠CAD=30°=∠FAC，
∴∠E=30°，
∵AF=3$\sqrt{3}$，
∴FC=AF×tan30°=3，
∴AC=2FC=6，
∴CA=CE=6，
∵∠OCE=90°，
∴OC=CE×tan30°=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△OCE-S_扇形COD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×6$-$\frac{60π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=6$\sqrt{3}$-2π．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．