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7.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=∠FDE=60°,AC=DF=1,固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:

(1)如图1,△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连接DC、CF、FB,求四边形CDBF的面积;
(2)如图2,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.
(3)如图3,△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连接AE,请你求出sinα的值.

分析 (1)如图1,先利用平移的性质得CF=AD,AC=DF,则可判断四边形ACFD为平行四边形,利用三角形面积公式得到S△DCF=S△BCF=S△ACD,则S四边形CDBF=S△ACB,然后计算S△ABC即可;
(2)如图2,利用直角三角形斜边上的中线性质得DC=DA=DB,则可证明四边形CDBF为平行四边形,于是可判断四边形CDBF为菱形;
(3)作DH⊥AE于H,如图,先计算出AB=2AC=2,则AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1,再利用旋转的性质得∠EFD=90°,EB=$\sqrt{3}$,DE=AB=2,接着利用勾股定理计算出AE=$\sqrt{7}$,然后利用面积法可计算出DH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,再在Rt△EDH中利用正弦的定义求sinα的值.

解答 解:(1)如图1,
∵△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),
∴CF=AD,AC=DF,
∴四边形ACFD为平行四边形,
∴AD∥CF,
∴S△DCF=S△BCF=S△ACD
∴S四边形CDBF=S△CDB+S△BCF=S△CDB+S△ACD=S△ACB
在Rt△ACB中,∵∠A=60°,
∴BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴S四边形CDBF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)四边形CDBF为菱形.理由如下:
如图2,
∵点D为斜边AB的中点,
∴DC=DA=DB,
∵CF∥AD,CF=AD,
∴CF=BD,CF∥DB,
∴四边形CDBF为平行四边形,
而DC=DB,
∴四边形CDBF为菱形;
(3)作DH⊥AE于H,如图,
在Rt△ACB中,∵∠A=60°,
∴AB=2AC=2,
∵点D为AB的中点,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1,
∵绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,
∴∠EFD=90°,EB=$\sqrt{3}$,DE=AB=2,
在Rt△ABE中,AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$,

∵$\frac{1}{2}$DH•AB=$\frac{1}{2}$AD•EB,
∴DH=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
在Rt△EDH中,sinα=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.

点评 本题考查了几何变换综合题:熟练掌握平移、旋转的性质和菱形的判定方法;理解正弦的定义和运用面积法计算线段的长;记住含30度的直角三角形三边的关系.

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