Question

8．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图1所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上，其中∠DEF=90°，∠EDF=30°，AB=DE=6$\sqrt{3}$，现将△DEF沿直线BC以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）直接写出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式；
（3）当D与C重合时（如图2），将△DEF绕点E顺时针旋转一个角α（0°＜α＜360°），记旋转中△DEF为△D′E′F′，在旋转过程中，设D′F′所在直线与直线AC交于点H，与直线AB交于点G，是否存在这样的G、H两点，使△AGH为等腰三角形？若存在，求出此时AH的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动的距离，即可求得时间；
（2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分三种情形进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式；
（3）存在．分两种情形①如图7中，当D′F′∥BC时，△AGH是等腰三角形．②如图8中，△AGH是等边三角形．分别求解即可．

解答 解：（1）当F在边AB上时，如图（1），作AM⊥BC，

则AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6 $\sqrt{3}$=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{EF}{AM}$，即 $\frac{BE}{3\sqrt{3}}$=$\frac{6}{9}$，解得：BE=2 $\sqrt{3}$，则移动的距离是：6 $\sqrt{3}$+2 $\sqrt{3}$=8 $\sqrt{3}$，则t=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8；
当F在AC上时，如图（2）

同理可得：EC=2 $\sqrt{3}$，则移动的距离是：2×6 $\sqrt{3}$-2 $\sqrt{3}$=12 $\sqrt{3}$-2 $\sqrt{3}$=10 $\sqrt{3}$，则t=$\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=10，
故t的值是：8或10；

（2）当0＜t≤6时，重合部分是△BND，如图3中，

设AB与BE交于点N，
则BD=$\sqrt{3}$t，NB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，ND=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$t=$\frac{3}{2}$t，
S=$\frac{1}{2}$NB•ND=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$t²；
当6＜t≤8时，重合部分是五边形MNQCE，

S=S_{五边形MNQCE}-S_△MNF-S_△CQD=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（24-3t）$\frac{\sqrt{3}}{2}$（24-3t）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）=-$\frac{15\sqrt{3}}{8}$t²+27$\sqrt{3}$t-81$\sqrt{3}$．
当8＜t＜10时，重叠部分是四边形EFMC，如图4中，

S=S_△EDF-S_△CDM=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）=-$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$t²+9$\sqrt{3}$t-9$\sqrt{3}$．
当10≤t＜12时，重合部分是△MCE，如图5，

S=$\frac{1}{2}$[6$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）]•$\sqrt{3}$•[6$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）]=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$t²-36$\sqrt{3}$t+216$\sqrt{3}$．

综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{8}{t}^{2}}&{（0＜t≤6）}\\{-\frac{15\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+27\sqrt{3}t-81\sqrt{3}}&{（6＜t≤8）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+9\sqrt{3}t-9\sqrt{3}}&{（8＜t≤10）}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-36\sqrt{3}t+216\sqrt{3}}&{（10＜t＜12）}\end{array}\right.$．

（3）存在．
①如图7中，当D′F′∥BC时，△AGH是等腰三角形．

∵∠GAH=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴∠AGH=∠F′GB=60°=∠F′，
∴△BGF′是等边三角形，
∴BG=BF′=6，
∴AH=AG=AB-BG=6$\sqrt{3}$-6．
②如图8中，△AGH是等边三角形．

易知△BGF′是等边三角形，
∴BG=BF′=6，
∴AH=AG=AB+BG=6$\sqrt{3}$+6．
综上所述，当△AGH为等腰三角形时AH的长度为6$\sqrt{3}$-6或6$\sqrt{3}$+6．

点评 本题是运三角形综合题、等边三角形的性质．30度的直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思考思考问题，学会用分割法求重叠部分面积，属于中考压轴题．