Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M为BC边上一动点（M不与B、C重合）

（1）如图1，若∠MAC＝45°，求；

（2）如图2，将CM绕点C顺时针旋转60°至CN，连接BN，T为BN的中点，连接AT．

①求证：AM＝2AT；

②当AB＝AC＝2时，直接写出CM+4AT的最小值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②2

【解析】

（1）如图1，过点M作MH⊥AC于H，证△AMH是等腰直角三角形，设AH＝a，则MH＝a，在Rt△CMH中，求出CH，CM的长，再证BM＝AC即可求出结果；

（2）①如图2﹣1，延长BA至Q且使AQ＝AB，连接CQ，MN，AN，NQ,证△ACQ和△MCN为等边三角形，推出AN＝QN＝AM，由三角形的中位线定理即可推出结论；

②如图2﹣2，将△QCN绕点C顺时针旋转60°得到△Q'CN'，连接NN'，MN，QQ'，AQ'，设AQ'与QC交于点G，推出CM+4AT＝CN+AN+NQ＝NN'+AN+N'Q'，即当A，N，N'，Q'在一条直线上时，CM+4AT有最小值，为AQ'的长度，求出AQ'的长度即可．

（1）解：如图1，过点M作MH⊥AC于H，

∵∠MAC＝45°，

∴△AMH是等腰直角三角形，

设AH＝a，则MH＝a，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠C＝30°，

∴在Rt△CMH中，

CH＝MH＝，CM＝2MH＝2a，

∴AC＝AH+CH＝(1+)a，

∵∠BAM＝∠BAC﹣∠CAM＝75°，∠BMA＝∠C+∠CAM＝75°，

∴∠BAM＝∠BMA，

∴BM＝AB＝AC＝(1+)a，

∴；

（2）①证明：如图2﹣1，延长BA至Q且使AQ＝AB，连接CQ，MN，AN，NQ

则AC＝AQ，

∵∠CAQ＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△ACQ为等边三角形，

∵CM＝CN，∠MCN＝60°，

∴△MCN为等边三角形，

∵∠ACM＝30°，

∴∠ACN＝60°﹣∠ACM＝30°，∠QCN＝60°﹣∠ACN＝30°，

∴AC垂直平分MN，

∵AM＝AN，

又∵AC＝QC，∠ACN＝∠QCN，CN＝CN，

∴△ACN≌△QCN（SAS），

∴AN＝QN，

∴AM＝QN，

∵BA＝QA，BT＝NT，

∴QN＝2AT，

即AM＝2AT；

②解：如图2﹣2，将△QCN绕点C顺时针旋转60°得到△Q'CN'，连接NN'，MN，QQ'，AQ'，设AQ'与QC交于点G，

则∠NCN'＝∠QCQ'＝60°，NQ＝N'Q'，

又∵CN＝CN'，CQ＝CQ'，

∴△CNN'与△CQQ'是等边三角形，

由①知AN＝NQ＝AM＝2AT，

∴CM+4AT＝CN+AN+NQ＝NN'+AN+N'Q'，

即当A，N，N'，Q'在一条直线上时，CM+4AT有最小值，为AQ'的长度，

∵△ACQ和△CQQ'是等边三角形，

∴AC＝AQ＝CQ＝QQ'＝CQ'＝2，

∴四边形ACQ'Q为菱形，

∴AQ'⊥CQ，

∴在Rt△AQG中，

AG＝AQ＝，

∴AQ'＝2AG＝2，

故答案为：2．