Question

某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位：百米)．已知AB所在抛物线的解析式为y＝－x²＋8，BC所在抛物线的解析式为y＝(x－8)²，且已知B(m，4)．

(1)设P(x，y)是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20 cm，长度因坡度的大小而定，但不得小于20 cm，每级台阶的两端点在坡面上(如上图)．

①分别求出前三级台阶的长度(精确到1 cm)；

②这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？(可取点验证)

(3)在山坡上的700 m高度(点D)处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1 600(m)．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝(x－16)²．试求索道的最大悬空高度．

Answer 1

答案：
解析：

分析　(1)根据B点的纵坐标可以直接得到其横坐标．(2)从B处能直接铺到山脚，所以只要判断从山顶能否铺到点B．(3)悬空高度实际上是抛物线DE与抛物线BC的函数值的差的最大值． 　　说明　事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700 m高度，共500级．从100 m高度到700 m高度都不能铺设这种台阶． 　　(3)D(2，7)、E(16，0)、B(4，4)、C(8，0)． 　　由AB、BC所在抛物线和索道抛物线可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值．索道在BC上方时，悬空高度y＝(x－16)2－(x－8)2＝(－3x2＋40x－96)＝－(x－)2＋． 　　∴当x＝时，ymax＝．∴索道的最大悬空高度为m．