Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．

Answer 1

（1）解：如图所示：

（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切线；

（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACO=∠OCB=ACB=30°，
∵BC=，
∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，
∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2×1=．
分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出⊙O；
（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．
点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．