【题目】如图,等腰Rt△ABC,AB=6,点E是斜边AB上的一点(端点A、B除外),将△CAE绕C逆时针旋转90°至△CBF,连接EF,且EF的中点为O,连OB、OC,设AE=x,
(1)求证:OB=OC;
(2)用x表示△BEF的面积S△BEF,并求S△BEF的最大值;
(3)用x表示四边形BECF的周长C,并求C的最小值.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)12.
【解析】
(1)由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得∠ECF=90°,∠EBF=90°,然后再由直角三角形的性质可得结论;
(2)由三角形面积公式可求得S△BEF与x的关系式,然后根据二次函数的性质求解即可;
(3)易得四边形BECF的周长C=6+2CE,于是当CE⊥AB时,CE的值最小,亦即四边形BECF的周长C最小,然后由等腰直角三角形的性质求解即可.
解:(1)证明:∵Rt△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵将△CAE绕C逆时针旋转90°至△CBF,
∴∠A=∠CBF=45°,AE=BF,CE=CF,∠ECF=90°,
∴∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°,
∵EF的中点为O,∴CO=EF,BO=EF,
∴BO=CO;
(2)∵AE=BF=x,AB=6,∴BE=6﹣x,
∴S△BEF=BE×BF=﹣x2+3x=﹣(x﹣3)2+,
∴当x=3时,S△BEF的最大值为;
(3)∵四边形BECF的周长C=BE+BF+CE+CF=BE+AE+2CE=6+2CE,
∴当CE的值最小时,四边形BECF的周长C有最小值,
∴当CE⊥AB时,CE的值最小,此时CE=AB=3,
∴四边形BECF的周长C最小值=6+2×3=12.
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【题目】已知:如图,在中,,,垂足为点,是外角的平分线,,垂足为点,连接交于点.
求证:四边形为矩形;
当满足什么条件时,四边形是一个正方形?并给出证明.
在的条件下,若,求正方形周长.
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【题目】如图,某居民楼的前面有一围墙,在点处测得楼顶的仰角为,在处测得楼顶的仰角为,且的高度为2米,之间的距离为20米(,,在同一条直线上).
(1)求居民楼的高度.
(2)请你求出、两点之间的距离.(参考数据:,,,结果保留整数)
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【题目】如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5m,EF=0.25m,目测点D到地面的距离DG=1.5m,到旗杆的水平距离DC=20m,则旗杆的高度为( )
A. mB. m
C.11.5mD.10m
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【题目】如图,将一个8cm×16cm智屏手机抽象成一个矩形ABCD,其中AB=8cm,AD=16cm,现将正在竖屏看视频的这个手机围绕它的中心R顺时针旋转90°后改为横屏看视频,其中,M是CD的中点,则图中等于45°的角有_____个.(按图中所标字母写出符合条件的角)
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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于点A(﹣2,0)、B(4,0),与y轴相交于点C,连接AC,BC,以线段BC为直径作⊙M,过点C作直线CE∥AB,与抛物线和⊙M分别交于点D,E,点P在BC下方的抛物线上运动.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)当四边形ACPB的面积最大时,求点P的坐标并求出最大值.
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【题目】如图(1)是一种简易台灯,在其结构图(2)中灯座为△ABC(BC伸出部分不计),A、C、D在同一直线上.量得∠ACB=90°,∠A=60°,AB=16cm,∠ADE=135°,灯杆CD长为40cm,灯管DE长为15cm.(参考数据:sin15°=0.26,cos15°=0.97,tan15°=0.27,sin30°=0.5,cos30°=0.87,tan30°=0.58.)
(1)求DE与水平桌面(AB所在直线)所成的角;
(2)求台灯的高(点E到桌面的距离,结果精确到0.1cm).
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【题目】方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,﹣1).
(1)作出△ABC关于y轴对称的,并写出的坐标;
(2)作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的,并求出所经过的路径长.
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