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【题目】如图,等腰RtABCAB6,点E是斜边AB上的一点(端点AB除外),将△CAEC逆时针旋转90°至△CBF,连接EF,且EF的中点为O,连OBOC,设AEx

1)求证:OBOC

2)用x表示△BEF的面积SBEF,并求SBEF的最大值;

3)用x表示四边形BECF的周长C,并求C的最小值.

【答案】1)详见解析;(2;(312

【解析】

1)由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得∠ECF90°,∠EBF90°,然后再由直角三角形的性质可得结论;

2)由三角形面积公式可求得SBEFx的关系式,然后根据二次函数的性质求解即可;

3)易得四边形BECF的周长C6+2CE,于是当CEAB时,CE的值最小,亦即四边形BECF的周长C最小,然后由等腰直角三角形的性质求解即可.

解:(1)证明:∵RtABC是等腰直角三角形,∴ACBC,∠ACB90°,∴∠CAB=∠CBA45°

∵将△CAEC逆时针旋转90°至△CBF

∴∠A=∠CBF45°AEBFCECF,∠ECF90°

∴∠EBF=∠ABC+CBF90°

EF的中点为O,∴COEFBOEF

BOCO

2)∵AEBFxAB6,∴BE6x

SBEFBE×BF=﹣x2+3x=﹣x32+

∴当x3时,SBEF的最大值为

3)∵四边形BECF的周长CBE+BF+CE+CFBE+AE+2CE6+2CE

∴当CE的值最小时,四边形BECF的周长C有最小值,

∴当CEAB时,CE的值最小,此时CEAB3

∴四边形BECF的周长C最小值=6+2×312

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