Question

13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．

解答 解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC边的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又∵S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$BD•OF=$\frac{1}{2}$CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，
解得OE=$\frac{6}{7}$，
∴⊙O的半径是$\frac{6}{7}$．
故答案为：$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．