Question

7．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$与x轴交于B，与直线y=-$\frac{4}{3}$x相交于A，线段AB的垂直平分线CD分别与AB，x轴，y轴交于点C，E，D．
（1）直接写出点A，C，E，D的坐标；
（2）直接写出直线CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）先确定B点坐标（11，0），再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$得A（3，-4），接着根据线段中点坐标公式得到C点坐标为（7，-2）；设直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$与y轴于F点，如图，则（0，-$\frac{11}{2}$），利用两点间的距离公式计算出BF=$\frac{11\sqrt{5}}{2}$，BC=2$\sqrt{5}$，证明Rt△BEC∽Rt△BFO，利用相似比计算出BE=5，易得E（6，0），则EC=$\sqrt{5}$，然后证明Rt△BEC∽Rt△DEO，利用相似比计算出OD=12，则D点坐标为（0，12）；
（2）利用待定系数法求直线CD的解析式．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$=0，解得x=11，则B点坐标为（11，0）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，则A（3，-4）；
∵CD垂直平分AB，
∴C点坐标为（7，-2）；
设直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$与y轴于F点，如图，则（0，-$\frac{11}{2}$），
BF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{11\sqrt{5}}{2}$，BC=$\sqrt{（11-7）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EBC=∠FBO，
∴Rt△BEC∽Rt△BFO，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{BC}{OB}$，即$\frac{BE}{\frac{11\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{11}$，解得BE=5，
∴OE=OB-BE=6，
∴E（6，0），
∴EC=$\sqrt{（7-6）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠BEC=∠DOE，
∴Rt△BEC∽Rt△DEO，
∴$\frac{EC}{OE}$=$\frac{BC}{OD}$，即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{2\sqrt{5}}{OD}$，解得OD=12，
∴D点坐标为（0，12）；
（2）设直线CD的解析式为y=kx+b，
把D（0，12），E（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-2x+12．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．