Question

如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．
（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．

Answer 1

分析：（1）先作辅助线，连接OF，证明四边形OBCF是平行四边形，得出DE∥CF；
（2）利用相似比求OB的长，
（3）由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离．

解答：（1）证明：连接OF，
∵AB切半圆O于点F，OF是半径，
∴∠OFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC，
∴OF∥BC，
∵BC=OE，OE=OF，
∴BC=OF，
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DE∥CF；

（2）解：若△OBF∽△ACB，
∴

OB

OF

=

AC

AB

，
∴OB=

AC•OF

AB

，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2

3

．
又∵OF=OE=2，
∴OB=

4×2

2 3

=

4 3

3

；
若△BOF∽△ACB，
∴

OB

OF

=

AC

BC

，
∴OB=

AC•OF

BC

，
∴OB=

4×2

2

=4；
综上，OB=

4 3

3

或4；

（3）解：画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．

点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，切线的性质等知识解决问题．