Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点弦ED⊥AB于H，交AC于点F，延长ED至P，
（1）若PF=PC，求证：PC是⊙O的切线；
（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能有使AD²=DE•DF，为什么？

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据ED⊥AB，得∠OAC+∠AFH=90°，再由PF=PC，得∠OCA+∠PCA=90°，则PC是⊙O的切线；
（2）连接AE，由题意得△ADF∽△EDA，则弧AD=弧CD，即点D为弧AC的中点．

解答：（1）证明：连接OC，
∴OA=OC
∴∠OAC=∠OCA┅┅┅┅┅┅（1分）
∵ED⊥AB
∴∠OAC+∠AFH=90°，
∵PF=PC
∴∠PFC=∠PCF
∴∠OAC+∠PCF=90°
∴∠OCA+∠PCA=90°┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）
即OC⊥PC，
故PC是⊙O的切线┅┅┅┅┅┅┅┅（4分）

（2）证明：连接AE
∵AD²=DE•DF
即

AD

DE

=

DF

AD

又∵∠ADF=∠EDA
∴△ADF∽△EDA┅┅┅┅┅┅（6分）
∴∠DAF=∠DEA，
∴弧AD=弧CD
即点D为弧AC的中点┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）

点评：本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．