Question

在四边形ABCD中，AB=AC，∠BAC=∠BDC=90°，若BD=3，DC=1，则AD=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：作AF⊥BC，易证AE=CE，即可证明△AEF≌△CED，可得AF的值，即可求得BF的值，可得DF的值，再根据勾股定理即可求得AD的值，即可解题．

解答：解：作AF⊥BC，

∵tan∠ABC=1，tan∠CBD=

1

3

，
∴tan∠ABD=tan（∠ABC-∠BCD）=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∴AE=

1

2

AB，即AE=CE，
在△AEF和△CED中，

∠AFE=∠CDE=90° ∠AEF=∠CED AE=CE

，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=CD=1，
∴BF=2，
∴DF=1，
∵AD²=AF²+DF²=2，
∴AD=

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△AEF≌△CED是解题的关键．