Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G．
（1）求证：CE²=FG•FB；
（2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切割线定理知：CF2=FG•FB，欲证本题的结论，需先证得CE=CF；可通过证△BCE≌△BCF得出．
（2）欲求⊙O的直径，已知AE的长，关键是求出BE的长度；在Rt△ABC中，CE⊥AB，根据射影定理得到CE²=AE•EB，由此可求出BE的长．
解答：（1）证明：连接AC；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵，且AB是直径；
∴AB⊥CD；
即CE是Rt△ABC的高；
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC；
∵CF是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，CF²=FG•FB；
∴∠FCB=∠ECB；
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
∴△BCF≌△BCE；
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE；
∴CE²=FG•FB．

（2）解：∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF；
∴tan∠CBF=tan∠ACE=；
∵AE=3，
∴CE=6；
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE²=AE•EB，即6²=3EB，
∴EB=12；
∴⊙O的直径为：12+3=15．
点评：命题立意：此题综合运用了圆周角的性质、垂径定理、切割线定理、三角形全等、解直角三角形等知识．
点评：此题综合性较强，采用层层深入的方法进行逐一解答．