Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，∠BAC=90°，AB=AC，已知点A点的坐标是（m，n），且m，n满足等式$\sqrt{2m+n-13}$+|m-n+1|=0．
（1）求点A的坐标；
（2）若B点的坐标为（6，0），求点C的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，作AD⊥AO，且AD=AO，连接CD，已知点E（3，0），线段AE与CD有何数量关系与位置关系？写出你的结论并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{2m+n-13=0}\\{m-n+1=0}\end{array}\right.$，解方程组即可求得A的坐标；
（2）作AM⊥x轴于M，CN⊥AM于N，证得△AMB≌△CAN，从而求得AM=CN=5，AN=BM=2，MN=AM-AN=5-2=3，即可求得C的坐标；
（3）作AM⊥x轴于M，DG⊥AM于G，同理证得D（9，1），证得CD∥x轴，由A（4，5），E（3，0），根据待定系数法求得直线AE和直线CD的解析式，根据斜率即可判定两直线垂直，根据勾股定理求得CD和AE的长即可判断它们的数量关系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2m+n-13}$+|m-n+1|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n-13=0}\\{m-n+1=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标（4，5）；

（2）如图1，作AM⊥x轴于M，CN⊥AM于N，
∵点A的坐标（4，5），B（6，0），
∴AM=5，BM=6-4=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAB+∠CAN=90°，
∵∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△AMB和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CAN}\\{∠AMB=∠CNA=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CAN（AAS），
∴AM=CN=5，AN=BM=2，
∴MN=AM-AN=5-2=3，
∴C（-1，3）；
（3）如图2，作AM⊥x轴于M，DG⊥AM于G，
同理证得D（9，1），
∵C（-1，3），
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{14}{5}$，CD=$\sqrt{（9+1）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{26}$，
∵A（4，5），E（3，0），
∴直线AE的解析式为y=5x-15，AE=$\sqrt{（4-3）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵-$\frac{1}{5}$×5=-1，
∴AE⊥CD，CD=2AE，
∴AE垂直平分CD，且CD=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求直线的解析式，勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．