Question

12．如图，E是矩形ABCD边AD上一点，以DE为直径向矩形内部作半圆O，AB=4$\sqrt{3}$，OD=2，点G在矩形内部，且∠GCB=30°，GC=2$\sqrt{3}$，过半圆弧（含点D，E）上动点P作PF⊥AB于点F．当△PFG是等边三角形时，PF的长是4或6．

Answer 1

分析 分两种情况：①作辅助线，构建直角三角形和等边三角形，先根据直角三角形30°的性质求GN的长，再证明D、P、G在一直线上，得△ODP是等边三角形，则PQ=$\sqrt{3}$，由此求出等边三角形PFG的高线GH的长，最后利用特殊的三角函数值求出边长．
②同理可得结论．

解答 解：分两种情况：
①当P在正方形内部时，如图1，过G作GH⊥PF于H，交AD于M，BC于N，
∵△PFG是等边三角形，
∴∠PGH=$\frac{1}{2}$∠PGF=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
Rt△CGN中，∵∠GCB=30°，CG=2$\sqrt{3}$，
∴GN=$\frac{1}{2}CG$=$\sqrt{3}$，
∠CGN=60°，
∴∠CGP=180°-30°-60°=90°，
延长GP交直线CD于D′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCG=60°，
∴∠CD′G=30°，
∴D′C=2CG=4$\sqrt{3}$，
∵CD=AB=4$\sqrt{3}$，
∴D与D′重合，
∴∠ADG=60°，
连接OP，过P作PQ⊥AD于Q，
∵OD=OP=2，
∴△ODP是等边三角形，
∴PQ=$\sqrt{3}$，
∴GH=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
Rt△PHG中，cos30°=$\frac{GH}{PG}$，
∴PG=$\frac{GH}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴PF=PG=4，
②当P与D重合，则F与A重合，如图2，
过G作MN⊥BC，交AD于M，交BC于N，
若△PFG是等边三角形时，同理得：GN=$\sqrt{3}$，∠DGM=30°，
则MG=3$\sqrt{3}$，
∴DG=6，DM=3，
∴AD=6，
即PF=6，
综上所述，PF为4或6，
故答案为：4或6．

点评 本题是圆的综合题，难度适中，考查了同圆的半径相等、直角三角形30°的性质、特殊的三角函数值、等边三角形的性质和判定，本题的关键是得出△ODP是等边三角形．