【题目】如图1,直线y=﹣ x+8,与x轴、y轴分别交于点A、C,以AC为对角线作矩形OABC,点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点,且有AQ=2CP,连结PQ,设点P的坐标为P(0,t).
(1)求点B的坐标.
(2)若t=1时,连接BQ,求△ABQ的面积.
(3)如图2,以PQ为直径作⊙I,记⊙I与射线AC的另一个交点为E.
①若 = ,求此时t的值.
②若圆心I在△ABC内部(不包含边上),则此时t的取值范围为是多少?
【答案】
(1)解:将x=0代入y=﹣ x+8,得y=8,∴C(0,8),
将y=0代入y=﹣ x+8,得x=6,∴A(6,0),
∵四边形OABC是矩形,∴B(6,8)
(2)解:如图1,
作QH⊥AB于H,当t=1时,CP=7,AQ=14,
易证AC=10,sin∠BAC= ,
∴QH=AQsin∠BAC= ,
∴S△ABQ= ;
(3)解:分类:Ⅰ、如图2,
当P在线段OC上,Q在线段AC上时,即3<<8时,
易证 =sin∠EQP=sin∠ACO= ,∴∠EQP=∠ACO,∴CP=PQ,
∵PE⊥CQ,∴CE=EQ,∴2× (8﹣t)=10﹣(16﹣2t),解得t1= ,
Ⅱ、当Q与C重合,P在OC上时,如图3,
可得16﹣2t=10,解得t2=3,
Ⅲ、当Q与C重合,P在OC延长线上时,如图4,
可得2t﹣16=10,解得t3=13,
Ⅳ、当P在OC延长线上,Q在AC延长线上时,如图5,
同Ⅰ,可得∠Q=∠PCQ,
∴CP=PQ,∴ (2t﹣16﹣10)= (t﹣8),解得t4=33,
∴t= 或3或13或33;
②当圆心I在边AC上时,如图6,P与C重合,Q与A重合,
∴OP=t=8,
当圆心I在边BC上时,设⊙I与x轴交于F,连接FQ,
∵PQ是直径,
∴QF⊥x轴,
∴FQ∥OA,CP=CF=t﹣8,
∴△CQF∽△ACO,
∴ = ,即 = ,
∴t= ,
∴若圆心I在△ABC内部(不包含边上),则此时t的取值范围为8<t< ,
故答案为:8<t<
【解析】(1)将x=0代入y=﹣ x+8,得y=8,将y=0代入y=﹣ x+8,得x=6,于是得到结论;(2)如图1,作QH⊥AB于H,当t=1时,CP=7,AQ=14,解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC= ,根据三角形的面积公式即可得到结论;(3)Ⅰ、如图2,当P在线段OC上,Q在线段AC上时,解直角三角形得到解得t1= ,Ⅱ、当Q与C重合,P在OC上时,如图3,解得t2=3,Ⅲ、当Q与C重合,P在OC延长线上时,如图4,解得t3=13,Ⅳ、当P在OC延长线上,Q在AC延长线上时,如图5,同Ⅰ,解得t4=33;②当圆心I在边AC上时,如图6,P与C重合,Q与A重合,求得OP=t=8,当圆心I在边BC上时,设⊙I与x轴交于F,连接FQ,根据相似三角形的性质得到t= ,于是得到结论.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点,需要掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解才能正确解答此题.
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【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2,﹣4),与x轴交于A、B两点,且A(﹣6,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】已知:点D是△ABC所在平面内一点,连接AD、CD.
(1)如图1,若∠A=28°,∠B=72°,∠C=11°,求∠ADC;
(2)如图2,若存在一点P,使得PB平分∠ABC,同时PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明;
(3)如图3,在 (2)的条件下,将点D移至∠ABC的外部,其它条件不变,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明.
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【题目】如图,已知单位长度为1的方格中有三角形ABC.
(1)请画出三角形ABC向上平移3格再向右平移2格所得的三角形A′B′C′;
(2)请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出),然后写出点B,B′的坐标.
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【题目】如图,教学楼走廊左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜在右墙时,顶端距离地面2米,求教学楼走廊的宽度.
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【题目】如图,已知在平面直角坐标中,直线l:y=﹣2x+6分别交两坐标于A、B两点,M是级段AB上一个动点,设点M的横坐标为x,△OMB的面积为S.
(1)写出S与x的函数关系式;
(2)当△OMB的面积是△OAB面积的时,求点M的坐标;
(3)当△OMB是以OB为底的等腰三角形,求它的面积.
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【题目】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的,该市自来水收费价格见价目表.
价目表
每月水用量 | 单价 |
不超出的部分 | 元/ |
超出不超出的部分 | 元/ |
超出的部分 | 元/ |
注:水费按月结算.
若某户居民月份用水,则应收水费:元.
(1)若该户居民月份用水,则应收水费_______元;
(2)若该户居民、月份共用水(月份用水量超过月份),共交水费元,则该户居民月份各用水多少立方米?
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【题目】如图,在边长为 的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),在运动过程中,则线段CP的最小值为 .
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【题目】我们规定:=(a≠0),即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数.例:=
(1)计算:=__;=__;
(2)如果=,那么p=__;如果=,那么a=__;
(3)如果=,且a、p为整数,求满足条件的a、p的取值.
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