Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过矩形OABC的A(3，0)，C(0，2)，连结OB．D为横轴上一个动点，连结CD，以CD为直径作⊙M，与线段OB有一个异于点O的公共点E，连结DE．过D作DF⊥DE，交⊙M于F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)tan∠FDC的值；

(3)①当点D在移动过程中恰使F点落在抛物线上，求此时点D的坐标；

②连结BF，求点D在线段OA上移动时，BF扫过的面积．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+x+2；(2)；(3)①(﹣，0)；②3

【解析】

(1)将点A、C的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；

(2) 连接CE、CF、FO，证明∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA，即可求解；

(3) ①如图2，连接FO，则∠FOG=∠FCD，证明∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE，通过tan∠FOG=tan∠COB=，来确定直线OF的表达式，进而求解；

②如图3，当点D、O重合时，连接CF、BF，由①知tan∠FOG=，设FG=3a，则OG=2a=HC，HF=2﹣GF=2﹣3a，由①同理可得：△CHF∽△FGO，则，求得a的值，根据BF扫过的面积为△BOF的面积，即可求解．

解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线的表达式得： ，

解得：，

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

(2)如图1，连接CE、CF、FO，

∵CD是直径，

∴∠CED=90°，即CE⊥DE，

又∵DF⊥DE，

∴∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA，

∴tan∠FDC=tan∠BOA=；

(3)①如图2，

连接FO，则∠FOG=∠FCD，

∵CD是直径，

∴∠CFD=90°，

同理∠FDE=90°，

∴FC∥DE，

∴∠FCD=∠CDE=∠COE，

∴∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE，

∴tan∠FOG=tan∠COE=tan∠COB=，

故直线OF的表达式为：y=﹣x②，

联立①②并解得：，故点F(﹣1，)；

过点F作y轴的平行线GH，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，

∴FG=，CH=1，HF=2﹣=，

∵∠HFC+∠GFD=90°，∠HFC+∠HCF=90°，

∴∠HCF=∠GFD，

又∠CHF=∠FGD=90°，

∴△CHF∽△FGD，

∴，即，解得：GD=，

∴OD=1﹣=，

故点D的坐标为：(﹣，0)；

②如图3，当点D、O重合时，连接CF、BF，

则BF扫过的面积为△BOF的面积，∠CFO=90°，

过点F作y轴的平行线HG，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，

由①同理可得：△CHF∽△FGO，则，

由①知tan∠FOG=，设FG=3a，则OG=2a=HC，HF=2﹣GF=2﹣3a，

∴，解得：a=；

在Rt△FOG中，FO=，

同理在Rt△AOB中，OB=，

∵EF是圆的直径，故OF⊥OE，

BF扫过的面积=S△BOF=×BO×FO=，

故BF扫过的面积为3．