Question

如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：过A作AM垂直于BC，交BC于点M，利用平行线间的距离相等得到三角形EBC中BC边上的高为AM，利用三角形的面积公式表示出三角形EBC的面积，利用平行四边形的面积公式表示出平行四边形ABCD的面积，得到三角形EBC的面积为平行四边形ABCD面积的一半，由平行四边形的对边相等且平行，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEG与三角形BCG相似，三角形EFD与三角形BCF相似，由AE=AD，得到AE=BC，即AE：BC=1：3，由相似得比例得到EG：BG=1：3，根据三角形EFG与三角形BFG底边之比为1：3，高相等得到三角形EFG的面积与三角形BFG的面积之比为1：3，即三角形EFG的面积为BEF面积的，同理得到ED=AD=BC，即DE：BC=2：3，由相似得比例得到EF：FC=2：3，由三角形BEF与三角形CFB底边之比为2：3，高相等得到三角形BEF与三角形BCF面积之比为2：3，即三角形BEF面积为三角形EBC面积的，等量代换可得出三角形EFG为平行四边形面积的，即可得到正确的选项．
解答：过A作AM⊥BC于M，如图所示：

∵S_△BEC=BC•AM，S_?ABCD=BC•AM，
∴S_△BEC=S_?ABCD=S，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠CBG，
∴△AEG∽△CBG，又AE=AD=BC，
∴==，
∴S_△EFG=S_△BGF，
又S_△EFG+S_△BGF=S_△BEF，
∴S_△EFG=S_△BEF，
∵AE=AD，AD=AE+ED，
∴ED=AD=BC，
同理得到△EFD∽△CFB，
∴==，
∴S_△BEF=S_△BFC，
又S_△BEF+S_△BFC=S_△BEC，
∴S_△BEF=S_△BEC=S，
∴S_△EFG=S．
故选C
点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用转化思想是解本题的关键．