Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象是第二、四象限的角平分线．

（1）实验与探究：由图观察易知A（－1，3）关于直线的对称点的坐标为（－3，1），请你写出点B（5，3）关于直线的对称点的坐标为 ；

（2）归纳与发现：结合图形，自己选点再试一试，通过观察点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m ，n）关于第二、四象限的角平分线的对称点的坐标为 ；

（3）运用与拓广：已知两点C（6 ， 0），D（2 ， 4），试在直线上确定一点，使这点到C，D两点的距离之和最小，在图中画出这点的位置，保留作图痕迹，并求出这点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（－3，－5）．（2）（－n，－m）．（3）作图参见解析，E（1 ，－1）．

【解析】试题分析：（1）由观察得知，关于直线的对称点的坐标，横纵坐标颠倒，且是原数的相反数即B′（-3，-5）；（2）通过选点验证，坐标平面内任一点P（m ,n）关于第二、四象限的角平分线的对称点的坐标为（-n,-m）；（3）先描点，在坐标平面内找到C,D两点，然后在直线上确定一点E，，使这点到C，D两点的距离之和最小，作点C关于直线 L的对称点，连接D，交 L于点E，由线段垂直平分线性质和两点之间线段最短可知E点即为所求，根据前面的规律把C′点坐标写出来，再把DC′的解析式求出来，和直线y=-x组成方程组求解，

试题解析：（1）由观察得知，关于直线的对称点的坐标，横纵坐标颠倒，且是原数的相反数，B（5,3）颠倒后是（3,5），再是原数的相反数是（-3，-5），∴（－3，－5）．（2）通过选点验证，坐标平面内任一点P（m ,n）关于第二、四象限的角平分线的对称点为（－n，－m）；（3）如图，作点C关于直线 L的对称点，连接D，交 L于点E，连接CE．由作图可知，EC= E，∴EC + ED = E+ ED =D ．因为两点之间线段最短，∴点E为所求．∵C（6，0），∴（0，－6）．设直线D的解析式为．∵D（2 , 4），∴．∴直线D的解析式为．由得，∴E（1 , －1）．