Question

4．如图1，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，△ADB是等边三角形，点C在△ADB的内部，DE⊥AC交直线AC于点E．
（1）你能证明“DE=CE”吗？试一试；
（2）如图2，若点C在△ADB的外部时，即点D、C在AB两侧，上述结论是否还成立？说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，作垂线，构建全等三角形，证明△ADE≌△BDF，得DF=DE，再证矩形DFCE是正方形，从而得出结论：DE=CE；
（2）如图2，同理证明△AED≌△BFD和四边形DFCE是正方形，得出结论．

解答 证明：（1）如图1，过F作DF⊥BC，交BC延长线于F，则∠BFD=90°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=∠DBA=60°，AD=BD，
∵△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠DAC=∠DBF=60°-45°=15°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠BFD，
∴△ADE≌△BDF，
∴DF=DE，
∵∠BFD=∠AED=∠FCE=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形DFCE是正方形，
∴DE=CE；
（2）如图2，过D作DF⊥BC，交CB的延长线于F，则∠F=90°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠DAB=∠DBA=60°，
同理∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠EAD=∠DBF=180°-60°-45°=75°，
∵∠AED=∠BFD=90°，
∴△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
同理得：四边形DFCE是正方形，
∴DE=CE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形和等边三角形的性质，此题恰当地构建全等三角形，证明三角形全等是关键．并利用正方形的四边相等相结合，利用等量代换可得结论．