Question

【题目】类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，在ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程．

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是 （用含a，b的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH；．（2）．（3）ab．

【解析】

试题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；

（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．

（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示

解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．

则有△ABF∽△EHF，

∴==3，

∴AB=3EH．

∵ABCD，EH∥AB，

∴EH∥CD，

又∵E为BC中点，

∴EH为△BCG的中位线，

∴CG=2EH．

∴．

故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．

（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．

∴．

∴AB=mEH．

∵AB=CD，

∴CD=mEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴=2，

∴CG=2EH．

∴=．

故答案为：．

（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，

∴△BCD∽△BEH，

∴=b，

∴CD=bEH．

又，

∴AB=aCD=abEH．

∵EH∥AB，

∴△ABF∽△EHF，

∴=ab．

故答案为：ab．